【解説・採点基準付き】2026年鹿児島大医学部・数学の解答・解説

次の各問いに答えよ。

(1) 点 $\mathrm{O}$ を中心とする円の円周上に異なる2点 $\mathrm{A}$、 $\mathrm{B}$ がある。線分 $\mathrm{AB}$ の長さが8であるとき、内積 $\overrightarrow{\mathrm{AO}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ を求めよ。

(2) 関数 $y=x|x-1|$ のグラフをかけ。

(3) 自然数 $n$ に対し、

$$|x|+|y|\leqq n$$

を満たす整数 $x$ と $y$ の組 $(x,\,y)$ の個数を、 $n$ を用いて表せ。ただし、例えば $(0,\,1)$ と $(1,\,0)$ は異なる組として数えるとする。

(4) 文字 $\mathrm{A}$ が2個、文字 $\mathrm{B}$ が2個、文字 $\mathrm{C}$ が1個ある。この5文字を一列に並べるとき、2つの $\mathrm{A}$ が隣り合わず、かつ2つの $\mathrm{B}$ も隣り合わないような並べ方は何通りあるか。

(1)　配点 10点

円の半径を $r$ とすると $\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=r$。線分 $\mathrm{AB}$ の中点を $\mathrm{M}$ とする。 $\mathrm{O}\neq\mathrm{M}$ のとき、 $\triangle\mathrm{OAB}$ は $\mathrm{OA}=\mathrm{OB}$ の二等辺三角形なので $\mathrm{OM}\perp\mathrm{AB}$。 $\mathrm{O}=\mathrm{M}$（ $\mathrm{AB}$ が直径）のときは $\overrightarrow{\mathrm{MO}}=\vec{0}$。いずれの場合も

$$\overrightarrow{\mathrm{MO}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AB}}=0$$

$\overrightarrow{\mathrm{AO}}=\overrightarrow{\mathrm{AM}}+\overrightarrow{\mathrm{MO}}$ なので

$$\overrightarrow{\mathrm{AO}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm{AM}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{MO}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm{AM}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AB}}$$

$\overrightarrow{\mathrm{AM}}=\dfrac12\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ なので

$$\overrightarrow{\mathrm{AO}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\dfrac12\left|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\right|^2=\dfrac12\cdot8^2=32$$

答　$32$

別解（ベクトルの大きさの条件だけで計算する）

$\left|\overrightarrow{\mathrm{OB}}\right|=\left|\overrightarrow{\mathrm{OA}}\right|$ で、 $\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}-\overrightarrow{\mathrm{AO}}$ なので

$$\left|\overrightarrow{\mathrm{AB}}-\overrightarrow{\mathrm{AO}}\right|^2=\left|\overrightarrow{\mathrm{AO}}\right|^2\iff\left|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\right|^2-2\,\overrightarrow{\mathrm{AO}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AB}}=0$$

よって $\overrightarrow{\mathrm{AO}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\dfrac12\cdot8^2=32$。図を使わずに済み、中点の場合分けも要らない。

(2)　配点 12点

$x\geqq1$ のとき $|x-1|=x-1$ なので

$$y=x(x-1)=x^2-x=\left(x-\dfrac12\right)^2-\dfrac14$$

$x<1$ のとき $|x-1|=-(x-1)$ なので

$$y=-x(x-1)=-x^2+x=-\left(x-\dfrac12\right)^2+\dfrac14$$

$x<1$ の部分は、頂点 $\left(\dfrac12,\,\dfrac14\right)$ の上に凸の放物線で、原点 $\mathrm{O}$ と点 $(1,\,0)$ を通る。

$x\geqq1$ の部分は、軸が $x=\dfrac12$ の下に凸の放物線のうち $x\geqq1$ の部分なので、点 $(1,\,0)$ から右へ増加する。

よって、グラフは下の図の太線の部分。

答　下の図（ $x=1$ でとがる）

(3)　配点 16点

$|x|\leqq|x|+|y|\leqq n$ なので、 $x$ は $-n\leqq x\leqq n$ の整数。 $x=k$（ $k$ は $-n\leqq k\leqq n$ の整数）のとき、条件は

$$|y|\leqq n-|k|\iff-(n-|k|)\leqq y\leqq n-|k|$$

となり、これを満たす整数 $y$ は $2(n-|k|)+1$ 個。

$k$ と $-k$ で個数は同じなので、求める個数は

$$(2n+1)+2\sum_{k=1}^{n}\{2(n-k)+1\}$$

ここで

$$\sum_{k=1}^{n}\{2(n-k)+1\}=(2n+1)n-2\cdot\dfrac{n(n+1)}{2}=n^2$$

（ $k=1,\,2,\,\cdots,\,n$ のとき $2(n-k)+1$ は $2n-1,\,2n-3,\,\cdots,\,1$ で、1から $2n-1$ までの奇数の和とみてもよい）。よって

$$(2n+1)+2n^2=2n^2+2n+1$$

答　$2n^2+2n+1$ 個

別解（2つの正方形に分ける）

$x+y$ が $n$ と同じ偶奇の格子点と、違う偶奇の格子点に分ける。前者は $45^\circ$ 回転した1辺に $n+1$ 個ずつ並ぶ正方形の形に並ぶので $(n+1)^2$ 個、後者は1辺に $n$ 個ずつ並ぶ正方形の形に並ぶので $n^2$ 個。合計 $(n+1)^2+n^2=2n^2+2n+1$ 個。図が書ければ計算なしで答えが求められるが、答案では「正方形に並ぶ」ことの説明が要るので、本解の数え方のほうが書きやすい。

(4)　配点 12点

全体の並べ方は

$$\dfrac{5!}{2!\,2!}=30\ \text{通り}$$

2つのAが隣り合う並べ方は、AAを1つのかたまりとみて、AA、B、B、Cの4つを並べればよいので

$$\dfrac{4!}{2!}=12\ \text{通り}$$

2つのBが隣り合う並べ方も同様に12通り。

AもBも隣り合う並べ方は、AA、BB、Cの3つを並べて $3!=6$ 通り。

よって「Aが隣り合う、またはBが隣り合う」並べ方は $12+12-6=18$ 通りで、求める並べ方は

$$30-18=12$$

答　12通り

別解（Cの位置で場合分け）

5つの位置を左から①〜⑤とする。

・Cが①のとき：②〜⑤にA、A、B、Bを同じ文字が隣り合わないように並べる。交互に並べるしかないのでABAB、BABAの2通り。Cが⑤のときも同様に2通り

・Cが②のとき：③〜⑤の3つは同じ文字が隣り合わないので、①がAならBAB、①がBならABAとなり2通り。Cが④のときも同様に2通り

・Cが③のとき：①②にAとBを1つずつ（2通り）、④⑤に残りのAとBを1つずつ（2通り）で4通り

合計 $2+2+2+2+4=12$ 通り。文字が5つと少ないので、この数え方でも短時間で答えが求められる。

袋には白い球が8個、赤い球が2個入っており、ここから球を1個ずつ無作為に続けて取り出す。一度取り出した球は袋に戻さないこととする。

(1) 1回目に白い球が出て、かつ2回目に赤い球が出る確率を求めよ。

(2) 2回目に赤い球が出る確率を求めよ。

(3) 3回目に赤い球が出る確率を求めよ。

(4) 続けて3回取り出したとき、取り出した白い球の個数の期待値を求めよ。

(1)　配点 10点

1回目に白が出る確率は $\dfrac{8}{10}$。このとき袋の中は白7個・赤2個になるので、2回目に赤が出る確率は $\dfrac{2}{9}$。

よって求める確率は

$$\dfrac{8}{10}\cdot\dfrac{2}{9}=\dfrac{16}{90}$$

答　$\dfrac{8}{45}$

(2)　配点 12点

1回目の結果で場合を分ける。

・1回目が白のとき　(1) より $\dfrac{8}{45}$

・1回目が赤のとき　袋の中は白8個・赤1個になるので $\dfrac{2}{10}\cdot\dfrac{1}{9}=\dfrac{1}{45}$

2つの場合は同時に起こらないので、求める確率は

$$\dfrac{8}{45}+\dfrac{1}{45}=\dfrac{9}{45}$$

答　$\dfrac{1}{5}$

(3)　配点 14点

3回目に赤が出るのは、1回目・2回目が「白白」「白赤」「赤白」のときで、「赤赤」のときは袋に赤が残っていないので起こらない。

それぞれの確率は

・白白赤　$\dfrac{8}{10}\cdot\dfrac{7}{9}\cdot\dfrac{2}{8}=\dfrac{112}{720}$

・白赤赤　$\dfrac{8}{10}\cdot\dfrac{2}{9}\cdot\dfrac{1}{8}=\dfrac{16}{720}$

・赤白赤　$\dfrac{2}{10}\cdot\dfrac{8}{9}\cdot\dfrac{1}{8}=\dfrac{16}{720}$

これらは同時に起こらないので、求める確率は

$$\dfrac{112+16+16}{720}=\dfrac{144}{720}$$

答　$\dfrac{1}{5}$

別解（(2)(3)：くじ引きの公平性を根拠つきで使う）

10個すべてを取り出したときの並びを考える。白8個・赤2個を区別せずに並べる並べ方は、赤の位置を10か所から2か所選ぶ ${}_{10}\mathrm{C}_2=45$ 通りで、球をすべて区別すれば、どの並べ方にも $8!\cdot2!$ 通りずつ対応するので、45通りはどれも同様に確からしい。

このうち $k$ 回目（ $1\leqq k\leqq10$）が赤であるのは、残りの赤の位置を9か所から選ぶ9通りなので、その確率は

$$\dfrac{9}{45}=\dfrac{1}{5}$$

で $k$ によらない。 $k=2,3$ として (2)(3) の答えが得られる。

(4)　配点 14点

3回で取り出した白の個数を $X$ とする。 $X$ は取り出した3個の中身だけで決まるので、順番を考えずに3個の組で数える。10個から3個を取り出す組は ${}_{10}\mathrm{C}_3=120$ 通りで、どれも同様に確からしい。赤は2個なので $X=1,2,3$。

・$X=1$（白1個・赤2個）　${}_8\mathrm{C}_1\cdot{}_2\mathrm{C}_2=8$ 通り

・$X=2$（白2個・赤1個）　${}_8\mathrm{C}_2\cdot{}_2\mathrm{C}_1=56$ 通り

・$X=3$（白3個）　${}_8\mathrm{C}_3=56$ 通り

（合計 $8+56+56=120$ で、もれがないことも確かめられる）

| $X$ | $1$ | $2$ | $3$ | 計 |

|—|—|—|—|—|

| $P$ | $\dfrac{1}{15}$ | $\dfrac{7}{15}$ | $\dfrac{7}{15}$ | $1$ |

よって

$$E(X)=1\cdot\dfrac{1}{15}+2\cdot\dfrac{7}{15}+3\cdot\dfrac{7}{15}=\dfrac{1+14+21}{15}=\dfrac{36}{15}$$

答　$\dfrac{12}{5}$

別解（(4)：和の期待値）

$k=1,2,3$ に対して、「 $k$ 回目に白が出たら $X_k=1$、赤が出たら $X_k=0$」とすると $X=X_1+X_2+X_3$。

1回目に赤が出る確率は $\dfrac{2}{10}=\dfrac{1}{5}$ で、(2)(3) から2回目・3回目に赤が出る確率も $\dfrac{1}{5}$。よって $E(X_k)=1-\dfrac{1}{5}=\dfrac{4}{5}$（ $k=1,2,3$）。

確率変数の和の期待値は各期待値の和なので（ $X_1,X_2,X_3$ が独立でなくても成り立つ）

$$E(X)=E(X_1)+E(X_2)+E(X_3)=3\cdot\dfrac{4}{5}=\dfrac{12}{5}$$

実数 $a$ は $0<a<1$ を満たし、曲線 $C_a$ が次の方程式で与えられている。

$$C_a:\dfrac{\left(x-\dfrac{a}{1-a}\right)^2}{\left(\dfrac{a}{1-a}\right)^2}+\dfrac{y^2}{\dfrac{a^2(1+a)}{1-a}}=1$$

(1) 座標平面において、曲線 $C_a$ によって囲まれる部分の面積 $S_1(a)$ を、 $a$ を用いて表せ。

(2) 座標平面において、点 $(a,\,a+a^2)$ における曲線 $C_a$ の接線 $l_a$ の方程式が $y=ax+a$ であることを示せ。

(3) 座標平面において、3直線 $l_a$、 $x$ 軸、および $x=\dfrac{a}{1-a}$ で囲まれた三角形の面積を $S_2(a)$ とする。実数 $a$ が $0<a<1$ の範囲を動くとき、 $S(a)=\dfrac{S_2(a)}{S_1(a)}$ の最小値を求めよ。また、そのときの $a$ の値を求めよ。

(1)　配点 12点

$p=\dfrac{a}{1-a}$ とおく。 $0<a<1$ より $p>0$ で

$$p^2(1-a^2)=\dfrac{a^2}{(1-a)^2}\cdot(1-a)(1+a)=\dfrac{a^2(1+a)}{1-a}$$

よって $C_a$ は

$$\dfrac{(x-p)^2}{p^2}+\dfrac{y^2}{p^2(1-a^2)}=1$$

で、中心 $(p,\,0)$、半軸の長さが $p$（ $x$ 軸方向）と $p\sqrt{1-a^2}$（ $y$ 軸方向）の楕円である。

半軸の長さが $A$、 $B$ の楕円は、半径 $A$ の円を $y$ 軸方向に $\dfrac{B}{A}$ 倍した図形なので、面積は $\pi A^2\cdot\dfrac{B}{A}=\pi AB$。よって

$$S_1(a)=\pi\cdot p\cdot p\sqrt{1-a^2}=\pi p^2\sqrt{1-a^2}$$

答　$S_1(a)=\dfrac{\pi a^2\sqrt{1-a^2}}{(1-a)^2}$

(2)　配点 14点

$C_a$ の式の両辺に $p^2(1-a^2)$ をかけると

$$(1-a^2)(x-p)^2+y^2=p^2(1-a^2)$$

$y=ax+a=a(x+1)$ を代入して整理すると

$$x^2-2\{p(1-a^2)-a^2\}x+a^2=0$$

ここで $p(1-a^2)=\dfrac{a}{1-a}\cdot(1-a)(1+a)=a(1+a)$ なので、 $x$ の係数は $-2\{a(1+a)-a^2\}=-2a$ となり

$$x^2-2ax+a^2=0\iff(x-a)^2=0$$

直線 $y=ax+a$ と $C_a$ の共有点は $x=a$、すなわち点 $(a,\,a+a^2)$ だけで、そこで重解をもつ。よって $y=ax+a$ は点 $(a,\,a+a^2)$ における $C_a$ の接線 $l_a$ である。（終）

別解（平行移動した楕円の接線の公式）　$x_0=a$、 $y_0=a+a^2$ とおく。 $\dfrac{x_0-p}{p}=\dfrac{a}{p}-1=-a$ なので

$$\dfrac{(x_0-p)^2}{p^2}+\dfrac{y_0^{\,2}}{p^2(1-a^2)}=a^2+(1+a)(1-a)=1$$

で、点 $(x_0,\,y_0)$ は $C_a$ 上にある。 $C_a$ は楕円 $\dfrac{x^2}{p^2}+\dfrac{y^2}{p^2(1-a^2)}=1$ を $x$ 軸方向に $p$ だけ平行移動したものなので、接線は

$$\dfrac{(x_0-p)(x-p)}{p^2}+\dfrac{y_0y}{p^2(1-a^2)}=1$$

両辺に $p^2$ をかけ、 $x_0-p=-ap$、 $\dfrac{y_0}{1-a^2}=p$ を使うと $-ap(x-p)+py=p^2$。 $p>0$ で割って $y=ax+p(1-a)=ax+a$。（終）

(3)　配点 24点

$l_a:y=a(x+1)$ と $x$ 軸の交点は $(-1,\,0)$。直線 $x=p$ との交点の $y$ 座標は

$$a(p+1)=a\cdot\dfrac{1}{1-a}=p$$

よって三角形の頂点は $(-1,\,0)$、 $(p,\,0)$、 $(p,\,p)$ で

$$S_2(a)=\dfrac12(p+1)\cdot p=\dfrac{p(p+1)}{2}$$

（図は $a=\dfrac12$ のとき）

(1) より

$$S(a)=\dfrac{S_2(a)}{S_1(a)}=\dfrac{p(p+1)}{2}\cdot\dfrac{1}{\pi p^2\sqrt{1-a^2}}=\dfrac{1}{2\pi\sqrt{1-a^2}}\cdot\dfrac{p+1}{p}$$

$\dfrac{p+1}{p}=1+\dfrac{1-a}{a}=\dfrac1a$ なので

$$S(a)=\dfrac{1}{2\pi a\sqrt{1-a^2}}$$

$a>0$、 $1-a^2>0$ より $a\sqrt{1-a^2}=\sqrt{a^2(1-a^2)}>0$。 $t=a^2$ とおくと $0<t<1$ で

$$a^2(1-a^2)=t(1-t)=-\left(t-\dfrac12\right)^2+\dfrac14\leqq\dfrac14$$

等号は $t=\dfrac12$、すなわち $a=\dfrac{1}{\sqrt2}$（ $0<a<1$ をみたす）のときに成り立つ。よって $a\sqrt{1-a^2}$ の最大値は $\dfrac12$。

$S(a)$ は $a\sqrt{1-a^2}$ が最大のとき最小になり、最小値は $\dfrac{1}{2\pi\cdot\dfrac12}=\dfrac{1}{\pi}$。

（ $a=\dfrac{1}{\sqrt2}$ のとき $p=\sqrt2+1$。三角形の頂点は $(-1,\,0)$、 $(\sqrt2+1,\,0)$、 $(\sqrt2+1,\,\sqrt2+1)$）

答　最小値 $\dfrac{1}{\pi}$（ $a=\dfrac{1}{\sqrt2}$ のとき）

自然数 $n$ に対し、定積分 $I_n$ を次のように定める。

$$I_n=\int_0^n\dfrac{3x+1}{(x+2)(x^2+1)}\,dx$$

(1) 次の式が $x$ についての恒等式であるとき、定数 $a$、 $b$、 $c$ の値を求めよ。

$$\dfrac{3x+1}{(x+2)(x^2+1)}=\dfrac{a}{x+2}+\dfrac{bx+c}{x^2+1}$$

(2) $\tan\theta_n=n$、 $0<\theta_n<\dfrac{\pi}{2}$ を満たす $\theta_n$ が存在することを示せ。

(3) $I_n$ を求めよ。ただし、 $n$、 $\theta_n$ を用いてよい。

(4) $\displaystyle\lim_{n\to\infty}I_n$ を求めよ。ただし、 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\theta_n=\dfrac{\pi}{2}$ を用いてよい。

(1)　配点 10点

両辺に $(x+2)(x^2+1)$ をかけた

$$3x+1=a(x^2+1)+(bx+c)(x+2)$$

が $x$ についての恒等式であればよい。右辺を整理すると

$$(a+b)x^2+(2b+c)x+(a+2c)$$

両辺の係数を比べて

$$a+b=0,\qquad2b+c=3,\qquad a+2c=1$$

これを解いて $a=-1$、 $b=1$、 $c=1$（ $x=-2$ を代入すると $-5=5a$ となり、 $a=-1$ がすぐに求まる）。

答　$a=-1,\quad b=1,\quad c=1$

(2)　配点 10点

$f(\theta)=\tan\theta$ は $0\leqq\theta<\dfrac{\pi}{2}$ で連続である。

$\displaystyle\lim_{\theta\to\frac{\pi}{2}-0}\tan\theta=\infty$ なので、 $\tan\alpha>n$ となる $\alpha$ $\left(0<\alpha<\dfrac{\pi}{2}\right)$ がとれる。

区間 $0\leqq\theta\leqq\alpha$ で $f(\theta)$ は連続で、 $f(0)=0<n<f(\alpha)$。よって中間値の定理より、 $f(\theta_n)=n$ となる $\theta_n$ が $0<\theta_n<\alpha$ の範囲に存在する。 $\alpha<\dfrac{\pi}{2}$ なので、この $\theta_n$ は $\tan\theta_n=n$、 $0<\theta_n<\dfrac{\pi}{2}$ をみたす。（終）

（注） $(\tan\theta)’=\dfrac{1}{\cos^2\theta}>0$ より $\tan\theta$ は $0<\theta<\dfrac{\pi}{2}$ で単調に増加するので、このような $\theta_n$ はただ1つである。問題は存在だけを問うているので書かなくてよいが、(3) で $\theta_n$ を1つの値として使える根拠になる。

(2) の別解（三角関数の定義に戻る）

座標平面上に点 $\mathrm{P}(1,n)$ をとり、 $x$ 軸の正の部分から動径 $\mathrm{OP}$ まで測った角を $\theta_n$ とする。 $\mathrm{P}$ は第1象限の点なので $0<\theta_n<\dfrac{\pi}{2}$ にとれて、三角関数の定義から $\tan\theta_n=\dfrac{n}{1}=n$。（終）

（短く書けるが、「点 $\mathrm{P}$ に対して角 $\theta_n$ がとれる」ことを前提にしているので、採点者によっては論証が不十分と見られるおそれがある。本番では本解の中間値の定理で書くのが安全）

(3)　配点 20点

(1) より

$$\dfrac{3x+1}{(x+2)(x^2+1)}=-\dfrac{1}{x+2}+\dfrac{x}{x^2+1}+\dfrac{1}{x^2+1}$$

$0\leqq x\leqq n$ で $x+2>0$ なので

$$\int_0^n\left(-\dfrac{1}{x+2}\right)dx=\Bigl[-\log(x+2)\Bigr]_0^n=-\log(n+2)+\log2$$

$$\int_0^n\dfrac{x}{x^2+1}\,dx=\int_0^n\dfrac12\cdot\dfrac{(x^2+1)’}{x^2+1}\,dx=\left[\dfrac12\log(x^2+1)\right]_0^n=\dfrac12\log(n^2+1)$$

$\displaystyle\int_0^n\dfrac{dx}{x^2+1}$ で $x=\tan\theta$ とおくと、 $dx=\dfrac{d\theta}{\cos^2\theta}$。 $\tan0=0$ と (2) の $\tan\theta_n=n$ より、 $x:0\to n$ に $\theta:0\to\theta_n$ が対応する。また $\dfrac{1}{\tan^2\theta+1}=\cos^2\theta$ なので

$$\int_0^n\dfrac{dx}{x^2+1}=\int_0^{\theta_n}\cos^2\theta\cdot\dfrac{1}{\cos^2\theta}\,d\theta=\int_0^{\theta_n}d\theta=\theta_n$$

以上より

$$I_n=\log2-\log(n+2)+\dfrac12\log(n^2+1)+\theta_n=\log\dfrac{2\sqrt{n^2+1}}{n+2}+\theta_n$$

答　$I_n=\log\dfrac{2\sqrt{n^2+1}}{n+2}+\theta_n$

（ $I_n$ は下の図の色をつけた部分の面積である）

(4)　配点 10点

(3) の $\log$ の真数の分母・分子を $n$ で割ると

$$I_n=\log\dfrac{2\sqrt{1+\dfrac{1}{n^2}}}{1+\dfrac{2}{n}}+\theta_n$$

$n\to\infty$ のとき $\dfrac{2\sqrt{1+\dfrac{1}{n^2}}}{1+\dfrac{2}{n}}\to2$ であり、 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\theta_n=\dfrac{\pi}{2}$ なので

$$\lim_{n\to\infty}I_n=\log2+\dfrac{\pi}{2}$$

答　$\dfrac{\pi}{2}+\log2$