【解説・採点基準付き】2021年鹿児島大学医学部・数学の解答・解説

次の各問いに答えよ。

(1) $p$、 $q$ を実数とする。2次方程式 $x^2+px+q=0$ が異なる解 $\alpha$、 $\beta$ をもつとき、 $\dfrac{\alpha^4-\beta^4}{\alpha-\beta}$ を $p$、 $q$ を用いて表せ。

(2) 斜辺の長さが一定の直角三角形のうち、面積が最大のものは、直角二等辺三角形であることを示せ。

(3) $\sin1$、 $\sin2$、 $\sin3$、 $\cos1$ という4つの数値を小さい方から順に並べよ。ただし、1、2、3は、それぞれ1ラジアン、2ラジアン、3ラジアンを表す。

(1)　配点 12点

$\alpha^4-\beta^4=(\alpha^2-\beta^2)(\alpha^2+\beta^2)=(\alpha-\beta)(\alpha+\beta)(\alpha^2+\beta^2)$ で、 $\alpha\neq\beta$ なので

$$\dfrac{\alpha^4-\beta^4}{\alpha-\beta}=(\alpha+\beta)(\alpha^2+\beta^2)$$

解と係数の関係より $\alpha+\beta=-p$、 $\alpha\beta=q$。

よって

$$\alpha^2+\beta^2=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta=p^2-2q$$

であり

$$\dfrac{\alpha^4-\beta^4}{\alpha-\beta}=-p(p^2-2q)=-p^3+2pq$$

答　$-p^3+2pq$

（検算： $x^2-3x+2=0$（ $p=-3$、 $q=2$ ）の解は $1$、 $2$ で、 $\dfrac{1-16}{1-2}=15$。式も $-(-27)+2\cdot(-3)\cdot2=27-12=15$ で合う）

(2)　配点 14点

斜辺の長さを $c$（一定）、他の2辺の長さを $a$、 $b$ とし、面積を $S$ とする。三平方の定理より

$$a^2+b^2=c^2,\qquad S=\dfrac12ab$$

$(a-b)^2\geqq0$ より $2ab\leqq a^2+b^2=c^2$ なので

$$S=\dfrac12ab\leqq\dfrac{c^2}{4}$$

等号は $a=b$ のときに限り成り立つ。このとき $a^2+b^2=c^2$ から $a=b=\dfrac{c}{\sqrt2}$ で、この2辺をもつ直角三角形は実際に存在し、 $S=\dfrac12\cdot\dfrac{c}{\sqrt2}\cdot\dfrac{c}{\sqrt2}=\dfrac{c^2}{4}$ となる。

よって $S$ の最大値は $\dfrac{c^2}{4}$ で、最大になるのは $a=b$、すなわち直角をはさむ2辺の長さが等しい直角二等辺三角形のときに限る。（証明終わり）

別解1（角を文字でおく）

直角でない1つの角を $\theta$（ $0<\theta<\dfrac{\pi}{2}$ ）とすると、2辺は $c\cos\theta$、 $c\sin\theta$ なので

$$S=\dfrac12c\cos\theta\cdot c\sin\theta=\dfrac{c^2}{4}\sin2\theta$$

$0<2\theta<\pi$ で $\sin2\theta\leqq1$、等号は $2\theta=\dfrac{\pi}{2}$、すなわち $\theta=\dfrac{\pi}{4}$ のときに限る。よって最大になるのは2つの鋭角がともに $\dfrac{\pi}{4}$ の直角二等辺三角形のときである。文字が1つになるので、等号成立条件を書き忘れにくい。

別解2（直径の上に立つ円周角）

斜辺 $\mathrm{AB}$ を固定すると、直角の頂点 $\mathrm{C}$ は $\mathrm{AB}$ を直径とする円の上にある（直径に対する円周角は直角）。 $\mathrm{AB}$ の中点を $\mathrm{O}$、 $\mathrm{C}$ から $\mathrm{AB}$ に下ろした垂線の足を $\mathrm{H}$ とすると、面積は $\dfrac12\cdot c\cdot\mathrm{CH}$ で、 $\mathrm{CH}\leqq\mathrm{OC}=\dfrac{c}{2}$。等号は $\mathrm{H}=\mathrm{O}$、すなわち $\mathrm{C}$ が図の $\mathrm{D}$ の位置にあるときに限り、このとき $\mathrm{CA}=\mathrm{CB}$ の直角二等辺三角形になる。計算がほとんどなく、図を見ればすぐに結論が分かる。

(3)　配点 14点

$\sin(\pi-\theta)=\sin\theta$、 $\cos\theta=\sin\left(\dfrac{\pi}{2}-\theta\right)$ より

$$\sin2=\sin(\pi-2),\qquad\sin3=\sin(\pi-3),\qquad\cos1=\sin\left(\dfrac{\pi}{2}-1\right)$$

$3<\pi<4$ を使うと

・$\pi-3>0$

・$\left(\dfrac{\pi}{2}-1\right)-(\pi-3)=2-\dfrac{\pi}{2}>0$ より $\pi-3<\dfrac{\pi}{2}-1$

・$1-\left(\dfrac{\pi}{2}-1\right)=2-\dfrac{\pi}{2}>0$ より $\dfrac{\pi}{2}-1<1$

・$(\pi-2)-1=\pi-3>0$ より $1<\pi-2$

・$\dfrac{\pi}{2}-(\pi-2)=2-\dfrac{\pi}{2}>0$ より $\pi-2<\dfrac{\pi}{2}$

よって

$$0<\pi-3<\dfrac{\pi}{2}-1<1<\pi-2<\dfrac{\pi}{2}$$

$0<\theta<\dfrac{\pi}{2}$ で $\sin\theta$ は増加するので

$$\sin(\pi-3)<\sin\left(\dfrac{\pi}{2}-1\right)<\sin1<\sin(\pi-2)$$

すなわち

答　$\sin3<\cos1<\sin1<\sin2$

(3) の別解（基準になる値と比べる）

直接比べにくい数どうしは、間に基準になる値をはさんで比べる。たとえば $\sin1$ と $\sin2$ は $\sin\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{\sqrt3}{2}$ を基準にする。 $\pi>3$ より $0<1<\dfrac{\pi}{3}$ なので $\sin1<\dfrac{\sqrt3}{2}$、また $\dfrac{\pi}{3}<2<\dfrac{2}{3}\pi$ なので $\sin2>\dfrac{\sqrt3}{2}$。よって $\sin1<\sin2$。 $\cos1$ は $\sin\left(\dfrac{\pi}{2}-1\right)$ に直してから比べる。

（検算：電卓の値では $\sin3\fallingdotseq0.141$、 $\cos1\fallingdotseq0.540$、 $\sin1\fallingdotseq0.841$、 $\sin2\fallingdotseq0.909$ で、順番が合う）

$0<a<1$ とする。このとき、次の関数 $f(x)$ を考える。

$$f(x)=x^3+3\left(\log_{\frac{1}{4}}\sqrt{a}+\log_{\frac{1}{8}}4\right)x^2-4\left(\log_{\frac{1}{4}}a\right)x-4\left(\log_{\frac{1}{4}}\sqrt{a}\right)^3$$

(1) $b=\log_{\frac{1}{4}}a$ とおく。関数 $f(x)$ を、対数が現れない形で、 $b$ を用いて表せ。

(2) $f'(x)=0$ となる $x$ を求めよ。

(3) $f(x)$ の極大値が $\dfrac{9}{2}$ であるとする。このとき、 $a$ の値を求めよ。

(1)　配点 14点

$\sqrt a=a^{\frac12}$ なので

$$\log_{\frac14}\sqrt a=\dfrac12\log_{\frac14}a=\dfrac b2$$

底の変換公式で底を2にすると

$$\log_{\frac18}4=\dfrac{\log_24}{\log_2\dfrac18}=\dfrac{2}{-3}=-\dfrac23$$

よって

$$f(x)=x^3+3\left(\dfrac b2-\dfrac23\right)x^2-4bx-4\left(\dfrac b2\right)^3$$

答　$f(x)=x^3+\left(\dfrac32b-2\right)x^2-4bx-\dfrac12b^3$

(2)　配点 10点

(1) より

$$f'(x)=3x^2+2\left(\dfrac32b-2\right)x-4b=3x^2+(3b-4)x-4b$$

$$f'(x)=(3x-4)(x+b)$$

答　$x=\dfrac43,\ -b$

(3)　配点 16点

底 $\dfrac14$ は1より小さいので、 $\log_{\frac14}x$ は減少関数である。 $0<a<1$ より

$$b=\log_{\frac14}a>\log_{\frac14}1=0$$

したがって $-b<0<\dfrac43$。

増減は次のようになる。

| $x$ | $\cdots$ | $-b$ | $\cdots$ | $\dfrac43$ | $\cdots$ |

|—|—|—|—|—|—|

| $f'(x)$ | $+$ | $0$ | $-$ | $0$ | $+$ |

| $f(x)$ | $\nearrow$ | 極大 | $\searrow$ | 極小 | $\nearrow$ |

よって、 $f(x)$ は $x=-b$ で極大となる。

極大値は

$$f(-b)=-b^3+\left(\dfrac32b-2\right)b^2+4b^2-\dfrac12b^3=2b^2$$

$2b^2=\dfrac92$ より $b^2=\dfrac94$。 $b>0$ より $b=\dfrac32$。

$\log_{\frac14}a=\dfrac32$ より

$$a=\left(\dfrac14\right)^{\frac32}=\left\{\left(\dfrac12\right)^2\right\}^{\frac32}=\left(\dfrac12\right)^3=\dfrac18$$

これは $0<a<1$ をみたす。

答　$a=\dfrac18$

次の条件によって定められる数列 $\{a_n\}$ がある。

$$a_1=2,\quad(n+1)a_{n+1}=(n+3)a_n+2\quad(n=1,\,2,\,3,\,\cdots)$$

(1) $b_n=\dfrac{a_n}{(n+2)(n+1)}$ とするとき、 $b_{n+1}-b_n$ を $n$ を用いて表せ。

(2) 次の等式が $k$ についての恒等式となるように、定数 $p$ の値を定めよ。

$$\dfrac{1}{(k+3)(k+2)(k+1)}=\dfrac{1}{p}\left\{\dfrac{1}{(k+2)(k+1)}-\dfrac{1}{(k+3)(k+2)}\right\}$$

(3) 数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めよ。

(1)　配点 12点

漸化式 $(n+1)a_{n+1}=(n+3)a_n+2$ の両辺を $(n+3)(n+2)(n+1)$（ $>0$ ）で割ると

$$\dfrac{a_{n+1}}{(n+3)(n+2)}=\dfrac{a_n}{(n+2)(n+1)}+\dfrac{2}{(n+3)(n+2)(n+1)}$$

$b_{n+1}=\dfrac{a_{n+1}}{(n+3)(n+2)}$、 $b_n=\dfrac{a_n}{(n+2)(n+1)}$ なので

答　$b_{n+1}-b_n=\dfrac{2}{(n+3)(n+2)(n+1)}$

(2)　配点 8点

$$\dfrac{1}{(k+2)(k+1)}-\dfrac{1}{(k+3)(k+2)}=\dfrac{(k+3)-(k+1)}{(k+3)(k+2)(k+1)}=\dfrac{2}{(k+3)(k+2)(k+1)}$$

よって、与えられた等式の右辺は $\dfrac{2}{p(k+3)(k+2)(k+1)}$ である。これが左辺 $\dfrac{1}{(k+3)(k+2)(k+1)}$ とすべての $k$ で等しくなるのは $\dfrac{2}{p}=1$ のときである。

答　$p=2$

(3)　配点 20点

(1)(2) より

$$b_{n+1}-b_n=\dfrac{2}{(n+3)(n+2)(n+1)}=\dfrac{1}{(n+2)(n+1)}-\dfrac{1}{(n+3)(n+2)}$$

右辺の2つ目の分数を左辺に移すと

$$b_{n+1}+\dfrac{1}{(n+3)(n+2)}=b_n+\dfrac{1}{(n+2)(n+1)}$$

$c_n=b_n+\dfrac{1}{(n+2)(n+1)}$ とおくと、左辺は $c_{n+1}$ なので、すべての自然数 $n$ で $c_{n+1}=c_n$ である。

$b_1=\dfrac{a_1}{3\cdot2}=\dfrac{1}{3}$ なので

$$c_n=c_1=\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3\cdot2}=\dfrac{1}{2}$$

すなわち

$$b_n=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{(n+2)(n+1)}$$

よって

$$a_n=(n+2)(n+1)b_n=\dfrac{(n+2)(n+1)}{2}-1=\dfrac{n^2+3n}{2}$$

答　$a_n=\dfrac{n(n+3)}{2}$

（検算：漸化式で $n=1$ とすると $2a_2=4\cdot2+2=10$ より $a_2=5$。一般項でも $a_1=\dfrac{1\cdot4}{2}=2$、 $a_2=\dfrac{2\cdot5}{2}=5$、 $a_3=\dfrac{3\cdot6}{2}=9$ で一致する。次の図のとおり、 $c_n=b_n+\dfrac{1}{(n+2)(n+1)}$ はどの $n$ でも $\dfrac{1}{2}$ である）

(3) の別解（階差数列の公式で和を計算する）

$b_1=\dfrac{1}{3}$ で、 $n\geqq2$ のとき

$$\begin{aligned}b_n&=b_1+\sum_{k=1}^{n-1}\left\{\dfrac{1}{(k+2)(k+1)}-\dfrac{1}{(k+3)(k+2)}\right\}\\&=\dfrac{1}{3}+\left\{\left(\dfrac{1}{3\cdot2}-\dfrac{1}{4\cdot3}\right)+\left(\dfrac{1}{4\cdot3}-\dfrac{1}{5\cdot4}\right)+\cdots+\left(\dfrac{1}{(n+1)n}-\dfrac{1}{(n+2)(n+1)}\right)\right\}\\&=\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{6}-\dfrac{1}{(n+2)(n+1)}\\&=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{(n+2)(n+1)}\end{aligned}$$

$n=1$ のとき $\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3\cdot2}=\dfrac{1}{3}=b_1$ なので、この式は $n=1$ でも成り立つ。あとは本解と同じ。

（和の計算と $n=1$ の確認が必要になるぶん、本解より長い。和の最後の項の取り違えも起きやすい）

平面上の三角形 $\mathrm{ABC}$ は $\angle\mathrm{BAC}=60^\circ$ の三角形で、 $\mathrm{AB}=5$、 $\mathrm{AC}=8$ とする。 $\angle\mathrm{BAC}$ の二等分線と辺 $\mathrm{BC}$ の交点を $\mathrm{D}$ とし、 $\angle\mathrm{ABC}$ の二等分線と辺 $\mathrm{AC}$ の交点を $\mathrm{E}$ とする。

(1) 辺 $\mathrm{BC}$ の長さを求めよ。

(2) $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$、 $\overrightarrow{\mathrm{BE}}$ を $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ と $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ を用いて表せ。

(3) 線分 $\mathrm{AD}$ と線分 $\mathrm{BE}$ の交点を $\mathrm{I}$ とするとき、 $\overrightarrow{\mathrm{AI}}$ を $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ と $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ を用いて表せ。

(1)　配点 8点

余弦定理より

$$\mathrm{BC}^2=5^2+8^2-2\cdot5\cdot8\cos60^\circ=25+64-40=49$$

$\mathrm{BC}>0$ より

答　$\mathrm{BC}=7$

(2)　配点 16点

（ $\mathrm{AB}=5$、 $\mathrm{AC}=8$、 $\angle\mathrm{BAC}=60^\circ$ の三角形を正しい比率で書いた図。 $\mathrm{D}$ は $\mathrm{BC}$ を $5:8$ に、 $\mathrm{E}$ は $\mathrm{AC}$ を $5:7$ に内分する）

$\mathrm{AD}$ は $\angle\mathrm{BAC}$ の二等分線なので、角の二等分線の定理より

$$\mathrm{BD}:\mathrm{DC}=\mathrm{AB}:\mathrm{AC}=5:8$$

$\mathrm{D}$ は辺 $\mathrm{BC}$ を $5:8$ に内分する点なので

$$\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\dfrac{8\overrightarrow{\mathrm{AB}}+5\overrightarrow{\mathrm{AC}}}{5+8}=\dfrac{8}{13}\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\dfrac{5}{13}\overrightarrow{\mathrm{AC}}$$

$\mathrm{BE}$ は $\angle\mathrm{ABC}$ の二等分線なので、角の二等分線の定理と (1) より

$$\mathrm{AE}:\mathrm{EC}=\mathrm{BA}:\mathrm{BC}=5:7$$

よって $\overrightarrow{\mathrm{AE}}=\dfrac{5}{12}\overrightarrow{\mathrm{AC}}$。

$$\overrightarrow{\mathrm{BE}}=\overrightarrow{\mathrm{AE}}-\overrightarrow{\mathrm{AB}}=-\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\dfrac{5}{12}\overrightarrow{\mathrm{AC}}$$

答　$\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\dfrac{8}{13}\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\dfrac{5}{13}\overrightarrow{\mathrm{AC}}$、 $\overrightarrow{\mathrm{BE}}=-\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\dfrac{5}{12}\overrightarrow{\mathrm{AC}}$

(3)　配点 16点

$\mathrm{BI}$ は $\angle\mathrm{ABC}$ の二等分線で、 $\mathrm{D}$ は辺 $\mathrm{BC}$ 上にあるので、 $\mathrm{BI}$ は三角形 $\mathrm{ABD}$ の $\angle\mathrm{ABD}$ の二等分線である。

(1)(2) より $\mathrm{BD}:\mathrm{DC}=5:8$、 $\mathrm{BC}=7$ なので

$$\mathrm{BD}=7\cdot\dfrac{5}{13}=\dfrac{35}{13}$$

三角形 $\mathrm{ABD}$ で、角の二等分線の定理より

$$\mathrm{AI}:\mathrm{ID}=\mathrm{BA}:\mathrm{BD}=5:\dfrac{35}{13}=13:7$$

よって $\overrightarrow{\mathrm{AI}}=\dfrac{13}{20}\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ で、(2) の $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ を代入すると

$$\overrightarrow{\mathrm{AI}}=\dfrac{13}{20}\left(\dfrac{8}{13}\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\dfrac{5}{13}\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right)=\dfrac25\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\dfrac14\overrightarrow{\mathrm{AC}}$$

答　$\overrightarrow{\mathrm{AI}}=\dfrac25\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\dfrac14\overrightarrow{\mathrm{AC}}$

（ $\mathrm{BD}=\dfrac{35}{13}$、 $\mathrm{DC}=\dfrac{56}{13}$、 $\mathrm{AE}=\dfrac{10}{3}$、 $\mathrm{EC}=\dfrac{14}{3}$。 $\mathrm{AI}:\mathrm{ID}=13:7$、 $\mathrm{BI}:\mathrm{IE}=3:2$。 $\mathrm{I}$ は三角形 $\mathrm{ABC}$ の内心。内心の位置ベクトルは、3辺の長さ $\mathrm{BC}=7$、 $\mathrm{CA}=8$、 $\mathrm{AB}=5$ を用いて $\overrightarrow{\mathrm{AI}}=\dfrac{8\overrightarrow{\mathrm{AB}}+5\overrightarrow{\mathrm{AC}}}{7+8+5}$ と表せることも、検算に使える）

(3) の別解（ $\overrightarrow{\mathrm{AI}}$ を2通りに表して係数を比べる）

$\mathrm{I}$ は直線 $\mathrm{AD}$ 上の点なので、実数 $s$ を用いて

$$\overrightarrow{\mathrm{AI}}=s\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\dfrac{8s}{13}\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\dfrac{5s}{13}\overrightarrow{\mathrm{AC}}\quad\cdots\cdots①$$

また $\mathrm{I}$ は直線 $\mathrm{BE}$ 上の点なので、実数 $t$ を用いて

$$\overrightarrow{\mathrm{AI}}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}+t\overrightarrow{\mathrm{BE}}=(1-t)\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\dfrac{5t}{12}\overrightarrow{\mathrm{AC}}\quad\cdots\cdots②$$

$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ と $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ は $\vec{0}$ でなく、平行でもない（1次独立）ので、①と②の係数を比べて

$$\dfrac{8s}{13}=1-t,\qquad\dfrac{5s}{13}=\dfrac{5t}{12}$$

2つ目の式より $s=\dfrac{13}{12}t$。これを1つ目の式に代入すると $\dfrac{2}{3}t=1-t$ なので $t=\dfrac35$、 $s=\dfrac{13}{20}$。①に代入して $\overrightarrow{\mathrm{AI}}=\dfrac25\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\dfrac14\overrightarrow{\mathrm{AC}}$。

（内心と気づかなくても解けるが、連立方程式を解くぶん本解より長い。 $s=\dfrac{13}{20}$ は本解の $\mathrm{AI}:\mathrm{ID}=13:7$ と一致し、 $t=\dfrac35$ から $\mathrm{BI}:\mathrm{IE}=3:2$ も分かる）

1、2、3、4、5、6の数字が1つずつ記入された6枚のカードを袋の中に入れる。この袋の中から2枚のカードを同時に抜き出し、それらのカードの数の大きい方を $X$、小さい方を $Y$ とする。

(1) 確率変数 $X$ の期待値 $E(X)$ を求めよ。

(2) 確率変数 $X$ と $Y$ は互いに独立であるか、独立でないか、答えよ。

(3) 確率変数 $XY$ の期待値 $E(XY)$ を求めよ。

2枚のカードの取り出し方は ${}_6\mathrm{C}_2=15$ 通りあり、これらは同様に確からしい。取り出した2枚の数を $i$、 $j$（ $i<j$）とすると $X=j$、 $Y=i$ である。15通りを表にすると次のようになる（塗ったマスが起こりうる15通り）。

(1)　配点 12点

$X$ のとりうる値は $2,3,4,5,6$ である。 $X=k$ となるのは、小さい方が $1,2,\cdots,k-1$ のどれかのときで $k-1$ 通りなので

$$P(X=k)=\dfrac{k-1}{15}\qquad(k=2,3,4,5,6)$$

| $X$ | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ | $6$ | 計 |

|—|—|—|—|—|—|—|

| $P$ | $\dfrac{1}{15}$ | $\dfrac{2}{15}$ | $\dfrac{3}{15}$ | $\dfrac{4}{15}$ | $\dfrac{5}{15}$ | $1$ |

よって

$$E(X)=\dfrac{2\cdot1+3\cdot2+4\cdot3+5\cdot4+6\cdot5}{15}=\dfrac{70}{15}=\dfrac{14}{3}$$

答　$E(X)=\dfrac{14}{3}$

(2)　配点 12点

$Y=k$ となるのは、大きい方が $k+1,\cdots,6$ のどれかのときで $6-k$ 通りなので

$$P(Y=k)=\dfrac{6-k}{15}\qquad(k=1,2,3,4,5)$$

である。とくに

$$P(X=2)=\dfrac{1}{15},\qquad P(Y=2)=\dfrac{4}{15}$$

一方、つねに $X>Y$ なので、 $X=2$ かつ $Y=2$ となることはなく

$$P(X=2,\,Y=2)=0$$

したがって

$$P(X=2,\,Y=2)=0\neq\dfrac{4}{225}=P(X=2)P(Y=2)$$

となり、 $P(X=a,\,Y=b)=P(X=a)P(Y=b)$ が成り立たない $a$、 $b$ がある。

答　$X$ と $Y$ は互いに独立でない

(3)　配点 16点

(2) より $X$ と $Y$ は独立でないので、 $E(XY)=E(X)E(Y)$ は使えない。15通りが同様に確からしいので、 $E(XY)$ は15通りの $XY$ の値（表のマスの数字）の平均である。

$$E(XY)=\dfrac{1}{15}\sum_{1\leqq i<j\leqq6}ij$$

ここで

$$(1+2+\cdots+6)^2=\left(1^2+2^2+\cdots+6^2\right)+2\sum_{1\leqq i<j\leqq6}ij$$

であり、 $1+2+\cdots+6=21$、 $1^2+2^2+\cdots+6^2=91$ なので

$$\sum_{1\leqq i<j\leqq6}ij=\dfrac{21^2-91}{2}=\dfrac{441-91}{2}=175$$

よって

$$E(XY)=\dfrac{175}{15}=\dfrac{35}{3}$$

答　$E(XY)=\dfrac{35}{3}$

別解（(3)：表のマスの数字を行ごとに足す）

表の行 $Y=i$ には $i(i+1)$、 $i(i+2)$、…、 $i\cdot6$ が並ぶので、行ごとの和は

・$Y=1$：　$2+3+4+5+6=20$

・$Y=2$：　$6+8+10+12=36$

・$Y=3$：　$12+15+18=45$

・$Y=4$：　$20+24=44$

・$Y=5$：　$30$

合計は $20+36+45+44+30=175$ となり、本解と一致する。15通りなら書き出しても時間はかからないので、本番ではこちらで検算するとよい。

（参考： $E(Y)=\dfrac{1\cdot5+2\cdot4+3\cdot3+4\cdot2+5\cdot1}{15}=\dfrac{7}{3}$ なので $E(X)E(Y)=\dfrac{14}{3}\cdot\dfrac{7}{3}=\dfrac{98}{9}$ であり、 $E(XY)=\dfrac{35}{3}=\dfrac{105}{9}$ と一致しない。(2) で独立でないと確かめたので、 $E(X)E(Y)$ で求めてはいけない）

実数全体で微分可能な関数 $f(x)$ が

$$f(x)=e^{-x}\left(\dfrac{1}{2}x^2+\int_0^x e^tf(t)\,dt\right)$$

を満たすとする。ただし、 $e$ は自然対数の底とし、以下では、 $\displaystyle\lim_{x\to\infty}xe^{-x}=0$ を用いてよいものとする。

(1) $f(x)$ の導関数 $f'(x)$ を求めよ。また、 $f(x)$ を求めよ。

(2) $f(x)$ の増減、極値、グラフの凹凸および変曲点を調べて、グラフの概形をかけ。

(3) $a>0$ とする。曲線 $y=f(x)$ と直線 $y=1$、 $x=0$ および $x=a$ で囲まれた部分の面積 $S(a)$ を求めよ。また、 $\displaystyle\lim_{a\to\infty}S(a)$ を求めよ。

(1)　配点 14点

与えられた等式の両辺に $e^x$ をかけると

$$e^xf(x)=\dfrac{1}{2}x^2+\int_0^xe^tf(t)\,dt\quad\cdots\cdots①$$

$f(x)$ は微分可能なので連続であり、 $e^tf(t)$ も連続。よって①の両辺を $x$ で微分できて

$$e^xf(x)+e^xf'(x)=x+e^xf(x)$$

$e^xf(x)$ が打ち消し合い、 $e^xf'(x)=x$。

答　$f'(x)=xe^{-x}$

①に $x=0$ を代入すると、 $\displaystyle\int_0^0e^tf(t)\,dt=0$ なので $f(0)=0$。

よって

$$f(x)=f(0)+\int_0^xte^{-t}\,dt=\Bigl[-te^{-t}\Bigr]_0^x+\int_0^xe^{-t}\,dt=-xe^{-x}+\Bigl[-e^{-t}\Bigr]_0^x=-xe^{-x}-e^{-x}+1$$

答　$f(x)=1-(x+1)e^{-x}$

（確かめ： $e^xf(x)=e^x-x-1$ で、①の右辺を $x$ で微分した $x+e^xf(x)=e^x-1$ は左辺の導関数 $e^x-1$ に一致し、 $x=0$ でどちらも0）

(2)　配点 14点

$f'(x)=xe^{-x}$ より

$$f”(x)=e^{-x}-xe^{-x}=(1-x)e^{-x}$$

$e^{-x}>0$ なので、 $f'(x)$ の符号は $x$ の符号、 $f”(x)$ の符号は $1-x$ の符号と同じ。 $f(0)=0$、 $f(1)=1-\dfrac{2}{e}$ である。

| $x$ | $\cdots$ | $0$ | $\cdots$ | $1$ | $\cdots$ |

|—|—|—|—|—|—|

| $f'(x)$ | $-$ | $0$ | $+$ | $+$ | $+$ |

| $f”(x)$ | $+$ | $+$ | $+$ | $0$ | $-$ |

| $f(x)$ | $\searrow$（下に凸） | $0$ | $\nearrow$（下に凸） | $1-\dfrac{2}{e}$ | $\nearrow$（上に凸） |

極限は

・$x\to\infty$ のとき、 $f(x)=1-xe^{-x}-e^{-x}$ で $xe^{-x}\to0$、 $e^{-x}\to0$ なので $f(x)\to1$

・$x\to-\infty$ のとき、 $x+1\to-\infty$、 $e^{-x}\to\infty$ なので $(x+1)e^{-x}\to-\infty$ となり $f(x)\to\infty$

よって直線 $y=1$ は漸近線である。

また $1-f(x)=(x+1)e^{-x}$ なので、 $x>-1$ では $f(x)<1$、 $x<-1$ では $f(x)>1$ で、曲線は点 $(-1,\,1)$ で直線 $y=1$ と交わる。

答　$x\leqq0$ で減少、 $x\geqq0$ で増加。極小値 $f(0)=0$（極大値はない）。 $x<1$ で下に凸、 $x>1$ で上に凸。変曲点 $\left(1,\,1-\dfrac{2}{e}\right)$。漸近線 $y=1$。グラフは下の図

(3)　配点 12点

(2) より $x>0$ では $1-f(x)=(x+1)e^{-x}>0$ なので、曲線 $y=f(x)$ は直線 $y=1$ の下にある。よって

$$S(a)=\int_0^a\{1-f(x)\}\,dx$$

$1-f(x)=(x+1)e^{-x}=xe^{-x}+e^{-x}$ で、(1) より $xe^{-x}=f'(x)$ なので

$$\begin{aligned}S(a)&=\int_0^a\{f'(x)+e^{-x}\}\,dx=\Bigl[f(x)-e^{-x}\Bigr]_0^a\\&=\{f(a)-e^{-a}\}-\{f(0)-1\}\\&=1-(a+1)e^{-a}-e^{-a}+1\end{aligned}$$

答　$S(a)=2-(a+2)e^{-a}$

$(a+2)e^{-a}=ae^{-a}+2e^{-a}$ で、 $a\to\infty$ のとき $ae^{-a}\to0$、 $e^{-a}\to0$ なので $(a+2)e^{-a}\to0$。

答　$\displaystyle\lim_{a\to\infty}S(a)=2$

(3) の別解（部分積分）

$S(a)=\displaystyle\int_0^a(x+1)e^{-x}\,dx$ を部分積分で計算すると

$$\begin{aligned}S(a)&=\Bigl[-(x+1)e^{-x}\Bigr]_0^a+\int_0^ae^{-x}\,dx\\&=-(a+1)e^{-a}+1+\Bigl[-e^{-x}\Bigr]_0^a\\&=-(a+1)e^{-a}+1-e^{-a}+1=2-(a+2)e^{-a}\end{aligned}$$

となり、同じ答えになる。(1) で求めた $f(x)$ を使わないぶん計算が長いが、本番での検算に使える。

$\alpha$ は複素数、 $A$ は実数で $|\alpha|^2-A>0$ を満たすものとする。複素数 $z$ に関する方程式

$$|z|^2+\overline{\alpha}z+\alpha\overline{z}+A=0$$

を(★)とする。ただし、 $\overline{\alpha}$、 $\overline{z}$ はそれぞれ $\alpha$、 $z$ の共役複素数とする。

(1) (★)は円を表す方程式であることを示せ。また、この円の中心および半径を $\alpha$ と $A$ を用いて表せ。

(2) 複素数平面上の0でない異なる2点 $z_1$、 $z_2$ が $z_1\overline{z_2}-\overline{z_1}z_2=0$ を満たすならば、3点0、 $z_1$、 $z_2$ は同一直線上にあることを示せ。ただし、 $\overline{z_1}$、 $\overline{z_2}$ はそれぞれ $z_1$、 $z_2$ の共役複素数とする。

(3) 複素数平面上の異なる3点0、 $z_1$、 $z_2$ は同一直線上にないものとする。3点0、 $z_1$、 $z_2$ を通る円が(★)で表されるとき、 $A$ の値を求め、さらに $\alpha$ を $z_1$ と $z_2$ を用いて表せ。

(1)　配点 12点

$|z|^2=z\overline{z}$、 $|\alpha|^2=\alpha\overline{\alpha}$ なので

$$z\overline{z}+\overline{\alpha}z+\alpha\overline{z}+\alpha\overline{\alpha}=(z+\alpha)(\overline{z}+\overline{\alpha})=(z+\alpha)\overline{(z+\alpha)}=|z+\alpha|^2$$

よって(★)は

$$|z+\alpha|^2=|\alpha|^2-A$$

と同値である。

$|\alpha|^2-A>0$ なので、両辺の正の平方根をとって

$$|z+\alpha|=\sqrt{|\alpha|^2-A}$$

と同値。これは点 $z$ と点 $-\alpha$ の距離が一定の正の値 $\sqrt{|\alpha|^2-A}$ であることを表すので、(★)は円を表す。

答　中心 $-\alpha$、半径 $\sqrt{|\alpha|^2-A}$

(2)　配点 10点

$z_1\overline{z_2}-\overline{z_1}z_2=0$ より $z_1\overline{z_2}=\overline{z_1}z_2$。 $z_2\neq0$ なので両辺を $z_2\overline{z_2}$（ $=|z_2|^2\neq0$ ）で割ると

$$\dfrac{z_1}{z_2}=\dfrac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}}=\overline{\left(\dfrac{z_1}{z_2}\right)}$$

共役複素数と等しいので、 $\dfrac{z_1}{z_2}$ は実数である。これを $k$ とおくと $z_1=kz_2$。

$k$ は実数なので、点 $z_1$ は原点 $\mathrm{O}$ と点 $z_2$ を通る直線上にある。よって3点 $0$、 $z_1$、 $z_2$ は同一直線上にある。（証明終わり）

(3)　配点 18点

円(★)は点 $0$ を通るので、 $z=0$ を代入して $A=0$。

答　$A=0$

点 $z_1$、 $z_2$ も(★)の上にあるので

$$\overline{\alpha}z_1+\alpha\overline{z_1}=-|z_1|^2\quad\cdots\cdots①$$

$$\overline{\alpha}z_2+\alpha\overline{z_2}=-|z_2|^2\quad\cdots\cdots②$$

①の両辺に $z_2$、②の両辺に $z_1$ をかけて辺々引くと、 $\overline{\alpha}z_1z_2$ が消えて

$$(\overline{z_1}z_2-z_1\overline{z_2})\alpha=-|z_1|^2z_2+|z_2|^2z_1$$

3点 $0$、 $z_1$、 $z_2$ は異なり同一直線上にないので、 $z_1\neq0$、 $z_2\neq0$、 $z_1\neq z_2$ である。(2) の対偶より $z_1\overline{z_2}-\overline{z_1}z_2\neq0$ なので、両辺を $\overline{z_1}z_2-z_1\overline{z_2}$ で割れて

$$\alpha=\dfrac{|z_2|^2z_1-|z_1|^2z_2}{\overline{z_1}z_2-z_1\overline{z_2}}=\dfrac{z_1z_2\overline{z_2}-z_1\overline{z_1}z_2}{\overline{z_1}z_2-z_1\overline{z_2}}=\dfrac{z_1z_2(\overline{z_2}-\overline{z_1})}{\overline{z_1}z_2-z_1\overline{z_2}}$$

逆に、この $\alpha$ が①②をみたすことを確かめる。分母の共役は $\overline{\overline{z_1}z_2-z_1\overline{z_2}}=z_1\overline{z_2}-\overline{z_1}z_2$ なので

$$\overline{\alpha}=\dfrac{\overline{z_1}\,\overline{z_2}(z_2-z_1)}{z_1\overline{z_2}-\overline{z_1}z_2}$$

よって

$$\overline{\alpha}z_1+\alpha\overline{z_1}=\dfrac{z_1\overline{z_1}\,\overline{z_2}(z_2-z_1)-z_1\overline{z_1}z_2(\overline{z_2}-\overline{z_1})}{z_1\overline{z_2}-\overline{z_1}z_2}=\dfrac{|z_1|^2(\overline{z_1}z_2-z_1\overline{z_2})}{z_1\overline{z_2}-\overline{z_1}z_2}=-|z_1|^2$$

で①をみたす。 $\alpha$ の式は $z_1$ と $z_2$ を入れかえても変わらないので、②も同じようにみたす。また、 $z_1\neq0$、 $z_2\neq0$、 $z_1\neq z_2$ より $\alpha\neq0$ なので $|\alpha|^2-A=|\alpha|^2>0$ もみたす。よって $A=0$ とこの $\alpha$ で、(★)は3点 $0$、 $z_1$、 $z_2$ を通る円を表す。

（円の中心 $-\alpha$ は3点 $0$、 $z_1$、 $z_2$ から等距離にある点、すなわち三角形の外心。たとえば $z_1=4$、 $z_2=1+3i$ のとき $\alpha=-2-i$ で、中心 $2+i$、半径 $\sqrt5$）

答　$A=0$、 $\alpha=\dfrac{z_1z_2(\overline{z_1}-\overline{z_2})}{z_1\overline{z_2}-\overline{z_1}z_2}$

（ $\alpha=\dfrac{|z_2|^2z_1-|z_1|^2z_2}{\overline{z_1}z_2-z_1\overline{z_2}}$ と書いても同じ）